Question

3．在ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長均相等，且∠ABB₁=60°，D為AC的中點，求證：
（1）B₁C∥平面A₁BD；
（2）AB⊥B₁C．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁和A₁B，交于E，連接DE，運用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）取AB中點O，連接OC，OB₁，則OB₁⊥AB，證明AB⊥平面OB₁C，即可證明AB⊥B₁C．

解答 證明：（1）連接AB₁和A₁B，交于E，連接DE，
由D，E分別為AC，A₁B的中點，可得DE∥B₁C，
由DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
即有B₁C∥平面A₁BD；
（2）取AB中點O，連接OC，OB₁，則OB₁⊥AB．
在正△ABC中，O為AB的中點，∴OC⊥AB，
∵OB₁∩OC=O，
∴AB⊥平面OB₁C，
∴AB⊥B₁C．

點評 本題考查線面平行和線面垂直的判定，注意運用線面平行和線面垂直的判定定理，考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．