Question

9．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程2ρcosθ+ρsinθ-6=0．
（1）寫出曲線C的普通方程，直線l的直角坐標方程；
（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出曲線C的普通方程，由直線l的極坐標方程能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ），P到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ+3sinθ-6|，則|PA|=$\fracnfdf3ft{sin30°}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+α）-6|，由此能求出|PA|的最大值與最小值．

解答 解：（1）∵曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∵直線l的極坐標方程2ρcosθ+ρsinθ-6=0，
∴直線l的直角坐標方程為2x+y-6=0．
（2）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ），
P到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ+3sinθ-6|，
則|PA|=$\frac3jjnlbt{sin30°}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+α）-6|，其中α為銳角，
當(dāng)sin（θ+α）=-1時，|PA|取得最大值，最大值為$\frac{22\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查曲線的普通方程、直線的直角坐標方程的求法，考查弦長的最大值和最小值的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．