Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)， ），以為極點(diǎn)， 軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) 或.

【解析】試題分析: （Ⅰ）根據(jù)加減相消法將曲線參數(shù)方程化為普通方程，利用將曲線（Ⅱ）先將直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為（為參數(shù)， ），再根據(jù)直線參數(shù)方程幾何意義由得，最后將直線參數(shù)方程代入，利用韋達(dá)定理得關(guān)于的方程，解得的值.

試題解析: （Ⅰ）曲線參數(shù)方程為,∴其普通方程，

由曲線的極坐標(biāo)方程為,∴

∴,即曲線的直角坐標(biāo)方程.

（Ⅱ）設(shè)、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，聯(lián)解得

要有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則,即，由韋達(dá)定理有

根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知，

又由可得，即或

∴當(dāng)時(shí)，有，符合題意．

當(dāng)時(shí)，有，符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或．