Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（4）=-2，則函數(shù)g（x）=e^x+

2f(2011)

ex+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，求出f（2011）的值，再根據(jù)基本不等式求出最值．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x+1）-f（x）①
令x=x-1，
∴f（x）=f（x+1）+f（x-1）②
把②式代入①式：f（x+2）=f（x+1）-f（x+1）-f（x-1）=-f（x-1）
令x=x+1
f（x）=-f（x+3）
令x=x+3
f（x+3）=-f（x+6）
即f（x）=f（x+6），
∴函數(shù)為以6為周期的周期函數(shù)，
∴f（2011）=f（1+335×6）=f（1）=-f（4）=2，
∴g（x）=e^x+

4

ex+1

=e^x+1+

4

ex+1

-1≥2

4

-1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是取等號，
故g（x）=e^x+

2f(2011)

ex+1

的最小值是3．
故答案為：3

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的周期性和基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵求出函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，屬于中檔題．