Question

已知數(shù)列{a_n}滿足（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數(shù)列，a₁=-1，b_n=（n+1）a_n-n+2，若log₂（-b_n）+3n≥k²-2k，對一切n∈N^*都成立，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數(shù)列可知（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，進(jìn)而可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出通項，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由已知得（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，
∵b₁=2a₁-1+2=-1，b_n=（n+1）a_n-n+2，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
∴b_n=-（

1

2

）^n-1，
∴l(xiāng)og₂（-b_n）+3n≥k²-2k，對一切n∈N^*都成立，即1+2n≥k²-2k，對一切n∈N^*都成立，
∴k²-2k≤3，
∴-1≤k≤3．
故答案為：-1≤k≤3．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．