Question

某家電專賣店在國慶期間設計一項有獎促銷活動，每購買一臺電視，即可通過電腦產生一組3個數的隨機數組，根據下表兌獎：

獎次	一等獎	二等獎	三等獎
隨機數組的特征	3個1或3個0	只有2個1或2個0	只有1個1或1個0
獎金（單位：元）	5m	2m	m

商家為了了解計劃的可行性，估計獎金數，進行了隨機模擬試驗，并產生了20個隨機數組，試驗結果如下：
247，235，145，324，754，500，296，065，379，118，520，161，218，953，254，406，227，111，358，791．
（1）在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，求至少有1組獲獎的概率；
（2）根據以上模擬試驗的結果，將頻率視為概率：
（i）若活動期間某單位購買四臺電視，求恰好有兩臺獲獎的概率；
（ii）若本次活動平均每臺電視的獎金不超過85元，求m的最大值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：

分析：（1）利用對立事件的概率，即可求出隨機抽取3組數，至少有1組獲獎的概率；
（2）（i）求出每購買一臺電視獲獎的概率，利用相互獨立事件概率公式，可求恰好有兩臺獲獎的概率；
（ii）設ξ為獲得獎金的數額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活動平均每臺電視的獎金不超過85元，即可求m的最大值．

解答： 解：（1）設“在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，至少有1組獲獎”為事件A，則
由數組知，沒中獎的組數為12，∴P（A）=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

，
（2）（i）由題意得，每購買一臺電視獲獎的概率為P=

8

20

=

2

5

，
設“購買四臺電視，恰有兩臺獲獎”為事件B，則P（B）=c

2 4

（

2

5

）²×（1-

2

5

）²=

216

625

（ii）設“購買一臺電視獲一等獎”為事件A₁，“購買一臺電視獲二等獎”為事件A₂，
“購買一臺電視獲三等獎”為事件A₃，
則P（A₁）=

1

20

，P（A₂）=

1

20

，P（A₃）=

3

10

，
設ξ為獲得獎金的數額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，故ξ的分布列為

ξ	0	m	2m	5m
P	3 5	3 10	1 20	1 20

∴Eξ=0+

3m

10

+

2m

20

+

5m

20

=

13m

20

由題意Eξ=

13m

20

≤85，得m≤

170

13

∴m的最大值為

170

13

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的期望與方差，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵