Question

.數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，前n項(xiàng)和sn=

1

2

(an+

1

an

)．
①求s₁，s₂，s₃；
②猜想{s_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：①，由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），a₁＞0可求得S₁，從而可求得a₂，繼而可求得S₂，S₃；
②由s₁，s₂，s₃的值可猜得S_n=

n

，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：①由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）得S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），
∴a12=1，又a₁＞0，
∴S₁=a₁=1，…（2分）
由S₂=a₁+a₂
=1+a₂
=

1

2

（a₂+

1

a2

）可得：a22+2a₂-1=0，a₂＞0，
∴a₂=

2

-1，
∴S₂=

2

，…（4分）
同理可求a₃=

3

-

2

，S₃=

3

…（6分）
∴s₁=1，s2=

2

，s3=

3

…（7分）
猜想S_n=

n

，下面用歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，s₁=1顯然猜想成立．…（9分）
（2）假設(shè)n=k時（k≥1）猜想也成立，
即s_k=

k

…（10分）
當(dāng)n=k+1時，s_k+1=s_k+a_k+1=

k

+a_k+1，
又s_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

），
∴

k

+a_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

），
∴a_k+1=

k+1

-

k

，
∴s_k+1=s_k+a_k+1=

k+1

…（12分）
即n=k+1時猜想也成立．
由①，②得猜想成立．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，考查數(shù)學(xué)歸納法證明問題，猜得S_n=

n

是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．