【題目】已知函數(shù)，，．

(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調區(qū)間；

(Ⅲ)設，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析； (Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)求解出點，再利用導數(shù)求出切線斜率，從而得切線方程；(Ⅱ)求導后，分別在、和三個范圍中討論導函數(shù)的符號，即可得到原函數(shù)的單調性；(Ⅲ)將問題轉化為在上的值域是在上的值域的子集，利用導數(shù)分別求解出兩個函數(shù)的值域，從而構造不等式，解出取值范圍.

(Ⅰ)當時，，所以

所以

所以曲線在處的切線方程為，即

(Ⅱ)的定義域是，

令，得

①當時，，所以函數(shù)的單調增區(qū)間是

②當時，變化如下：

+

-

-

+

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

所以函數(shù)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是

③當時，變化如下：

+

-

-

+

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

所以函數(shù)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是

(Ⅲ)因為，所以

當時，

所以在上恒成立，所以在上單調遞增

所以在上的最小值是，最大值是

即當時，的取值范圍為

由(Ⅱ)知，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增

因為，所以不合題意

當時，，在上單調遞減

所以在上的最大值為，最小值為

所以當時，的取值范圍為

“對于任意，總存在，使得成立”等價于

即，解得

所以的取值范圍為

練習冊系列答案
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加盟店個數(shù)（個）

1

2

3

4

5

單店日平均營業(yè)額（萬元）

10.9

10.2

9

7.8

7.1

（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個數(shù)（個）的線性回歸方程；

（2）根據(jù)試點調研結果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元，求一個地區(qū)開設加盟店個數(shù)的所有可能取值；

（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個地區(qū)（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.

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