Question

12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）滿足：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{x≥0}\\{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{y}^{2}+1}+y）≥1}\end{array}\right.$，則x²+y²-6x的最小值為$-\frac{40}{9}$．

Answer 1

分析 不等式組中的第三個(gè)不等式可化為x≤y，作出該不等式組表示的平面區(qū)域，x²+y²-6x的幾何意義求最小值．

解答 解：由$（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{y}^{2}+1}+y）≥1$，
∵y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$＞y+|y|≥0，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}-x≥\frac{1}{\sqrt{{y}^{2}+1}+y}=\sqrt{{y}^{2}+1}-y$，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$是減函數(shù)，
∴x≤y，
∴原不等式組化為$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{x≥0}\\{x≤y}\end{array}\right.$．
該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：
∵x²+y²-6x=（x-3）²+y²-9．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，P（3，0）區(qū)域中A（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$）的距離最小，所以x²+y²-6x的最小值為$-\frac{40}{9}$．
故答案為：-$\frac{40}{9}$．

點(diǎn)評 考查不等式組表示的平面區(qū)域的概念，能夠畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，能判斷函數(shù)的單調(diào)性，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求最值的方法，數(shù)形結(jié)合解題的方法．