Question

已知函數(shù)
(I)若直線l₁交函數(shù)f(x)的圖象于P,Q兩點，與l₁平行的直線與函數(shù)的圖象切于點R,求證 P,R,Q三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(II)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；
(III)求證:〔其中, e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（Ⅰ），設切點R(x₀，y₀)
則．
令l₂：y=(-4x₀+4)x+b．
聯(lián)立 消去y得 2x²-4x₀x+b=0．
令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁+x₂=2x₀，
即R、R、Q三點的橫坐標成等差數(shù)列． ……………………………………4分
（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F(x)=2x²-alnx(x>0)，
則.
由，得.
當0<x<時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0，)上遞減；
當時，，F(xiàn)(x)在區(qū)間(，+∞)上遞增．
∴ ≥0，得0<a≤4e．……………………………9分
（Ⅲ）由（2）知當a=2e時有2x²-2elnx≥0，得≤
∴
≤
<
=
<．

略