Question

12．衡州市臨棗中學(xué)高二某小組隨機調(diào)查芙蓉社區(qū)160個人，以研究這一社區(qū)居民在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

休閑方式 性別	看電視	看書	合計
男	20	100	120
女	20	20	40
合計	40	120	160

下面臨界值表：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}，n=a+b+c+d$
（Ⅰ）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機變量X，求X的分別列和期望；
（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”？

Answer 1

分析 （I）依題意，隨機變量X的取值為0，1，2，3，且每個男生在這一時間段以看書為休閑方式的概率為$p=\frac{5}{6}$，利用二項分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．
（II）利用“獨立性檢驗”計算公式即可得出．

解答 解：（I）依題意，隨機變量X的取值為0，1，2，3，且每個男生在這一時間段以看書為休閑方式的概率為$p=\frac{5}{6}$，$P（{X=0}）=C_3^0{（{\frac{1}{6}}）^3}=\frac{1}{216}$，$P（{X=1}）=C_3^1•{（{\frac{1}{6}}）^2}•（{\frac{5}{6}}）=\frac{5}{72}$，
$P（{X=2}）=C_3^2•（{\frac{1}{6}}）•{（{\frac{5}{6}}）^2}=\frac{25}{72}$，$P（{X=3}）=C_3^3•{（{\frac{5}{6}}）^3}=\frac{125}{216}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{125}{216}$

所以$EX=0×\frac{1}{216}+1×\frac{5}{72}+2×\frac{25}{72}+3×\frac{125}{216}=\frac{5}{2}$．
（Ⅱ）根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表可得${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}=\frac{{160×{{（{20×20-20×100}）}^2}}}{120×40×40×120}=\frac{160}{9}≈17.778＞6.635$
所以我們有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段性別與休閑方式有關(guān)”．

點評 本題考查了二項分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、“獨立性檢驗”計算公式及其原理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．