Question

15．求函數(shù)y=lg（sin²x+2cosx+2）在$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$上的最大值lg4，最小值lg$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出t=sin²x+2cosx+2的取值范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：sin²x+2cosx+2=1-cos²x+2cosx+2=-（cosx-1）²+4，
∵$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$，∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則當(dāng)cosx=1時(shí)，sin²x+2cosx+2取得最大值4，
當(dāng)cosx=-$\frac{1}{2}$時(shí)，sin²x+2cosx+2取得最小值$\frac{7}{4}$，即當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$時(shí)，函數(shù)有意義，
設(shè)t=sin²x+2cosx+2，則$\frac{7}{4}$≤t≤4，
則lg$\frac{7}{4}$≤lgt≤lg4，
即函數(shù)的最大值為lg4，最小值為lg$\frac{7}{4}$，
故答案為：lg4，lg$\frac{7}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．