Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值和最小值．
（3）求證：對(duì)于大于1的正整數(shù)n，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價(jià)于$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}≥0$即ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，分離參數(shù)后化為函數(shù)的最值即可求解；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進(jìn)而求出其在[$\frac{1}{2}$，2]上的單調(diào)性即可求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值．
（3）由（1）知f （x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)n＞1時(shí)，令x=$\frac{n}{n-1}$，則x＞1，故f （x）＞f （1）=0，即f （$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n}$+ln$\frac{n}{n-1}$＞0即可．

解答 解：（1）解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
依題意：$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}≥0$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，即：ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
也即：a$≥\frac{1}{x}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴a$≥（\frac{1}{x}）_{max}$，即a≥1；
（2）（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上有唯一極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0，
又f （$\frac{1}{2}$）-f （2）=$\frac{3}{2}$-2ln2=$\frac{ln{e}^{3}-ln{2}^{4}}{2}$＞0，∴f （$\frac{1}{2}$）＞f （2），∴[f （x）]_max=f （$\frac{1}{2}$）=1-ln2；
（3）由（1）知f （x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)n＞1時(shí)，令x=$\frac{n}{n-1}$，則x＞1，故f （x）＞f （1）=0，
即f （$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n}$+ln$\frac{n}{n-1}$＞0，∴l(xiāng)n$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分離參數(shù)法、構(gòu)造法證明數(shù)列不等式，屬于難題．