Question

（Ⅰ）已知x∈R，a=x²+

1

2

，b=2-x，c=x2-x+1，試證明a，b，c中至少有一個不小于1．
（Ⅱ）用分析法證明：若a＞0，則

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,分析法,反證法

分析：（I）根據(jù)題意，首先假設(shè)命題錯誤，即假設(shè)a，b，c均小于1，進(jìn)而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三項(xiàng)的和，可得矛盾，即可證原命題成立；
（Ⅱ）分析使不等式

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．

解答： 證明：（I）假設(shè)a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則有a+b+c＜3
而a+b+c=2x²-2x+

1

2

+3=2（x-

1

2

）²+3≥3，
兩者矛盾；
故a，b，c至少有一個不小于1．------------（6分）
（ II）要證：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證：（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²
只需證：

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），

只需證：a2+

1

a2

≥

1

2

（a2+

1

a2

+2）
即證：a2+

1

a2

≥2，它顯然成立，
∴原不等式成立．---------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查反證法的運(yùn)用，注意用反證法時，需要首先否定原命題，特別是帶至少、最多詞語一類的否定；考查用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．