Question

19．已知球的半徑為25，有兩個(gè)平行平面截球所得的截面面積分別是49π和400π，則這兩個(gè)平行平面間的距離為9或39．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩個(gè)截面圓的面積分別求出對(duì)應(yīng)圓的半徑，再分析出兩個(gè)截面所存在的兩種情況，最后對(duì)每一種情況分別求出兩個(gè)平行平面的距離即可．

解答 解：設(shè)兩個(gè)截面圓的半徑別為r₁，r₂．球心到截面的距離分別為d₁，d₂．球的半徑為R．
由πr₁²=49π，得r₁=7．
由πr₂²=400π，得r₂=20．
如圖①所示．當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的外側(cè)時(shí)，這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之差，
即d₁-d₂=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}-\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}=9$．
如圖②所示．當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的之間時(shí)，這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之和．
即d₁+d₂=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}+\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}=39$．
故答案為：9或39．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)平行平面間的距離計(jì)算問(wèn)題．此題重點(diǎn)考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系以及空間想象能力和計(jì)算能力．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于只考慮一種情況，從而漏解．