Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=3，S₇=28，在等比數(shù)列{b_n}中，b₃=4，b₄=8．
（1）求a_n及b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式求出數(shù)列的首項與公差，得到等差數(shù)列的通項公式；求出公比然后求解等比數(shù)列的通項公式．
（2）化簡通項公式，利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則由題a₃=3，S₇=28，
有$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=3\\ 7{a_1}+21d=28\end{array}\right.⇒{a_1}=d=1$，
∴a_n=n．
∵在等比數(shù)列{b_n}中，b₃=4，b₄=8，
∴{b_n}的公比為$q=\frac{b_4}{b_3}=2$，∴${b_n}={b_3}{q^{n-3}}={2^{n-1}}$，
即${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）由（1）知a_n=n，${b_n}={2^{n-1}}$，∴${a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$．
∴${T_n}=1+2×2+3×{2^2}+4×{2^3}+…+n×{2^{n-1}}$，
$2{T_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n-1）×{2^{n-1}}+n×{2^n}$，
∴${T_n}=n×{2^n}-（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）=n×{2^n}-\frac{{{2^n}-1}}{2-1}=（n-1）•{2^n}+1$，
即${T_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

點評 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．