Question

17．在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：
①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；
②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；
③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 先根據(jù)翻折前后的變量和不變量，計(jì)算幾何體中的相關(guān)邊長(zhǎng)，若①成立，則需BD⊥EC，這與已知矛盾；若②成立，則A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段BC上，可證明位于BC中點(diǎn)位置，故②成立；若③成立，則A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段CD上，這是不可能的．

解答 解：如圖，AE⊥BD，CF⊥BD，

依題意不妨令，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AE=CF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=EF=FD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
①，若存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直，則∵BD⊥AE，
∴BD⊥平面AEC，從而B(niǎo)D⊥EC，這與已知矛盾，排除①；
②，若存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直，則CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD
取BC中點(diǎn)M，連接ME，則ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角顯然存在，即當(dāng)A在底面上的射影位于BC的中點(diǎn)時(shí)，直線AB與直線CD垂直，故②正確；
③，若存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直，則BC⊥平面ACD，從而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段CD上，這是不可能的，排除③；
故答案為：②

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了空間的線面和面面的垂直關(guān)系，翻折問(wèn)題中的變與不變，空間想象能力和邏輯推理能力，有一定難度，屬中檔題目．