Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-2x，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-2
①由f′（x）＞0，x＞0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
②由f′（x）＜0，x＞0，得x＞$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（8分）
（2）f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，（x＞0，a＞0），
①當(dāng)$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（e）=lne-ea=1-ea．…（10分）
②當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e，即a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．…（12分）
③當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，e]上是減函數(shù)．
又f（e）-f（1）=1-（e-1）a，
∴當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a＜$\frac{1}{e-1}$時(shí)，最小值是f（1）=-a；
當(dāng)$\frac{1}{e-1}$≤a＜1時(shí)，最小值為f（e）=1-ea．…（15分）
綜上可知，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e-1}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥$\frac{1}{e-1}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是1-ea．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)，確定分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵．