Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．[來

（1）用表示出，；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上恒成立；

（3）證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）由（1）得，令，，

，．

，．，，是增函數(shù)，所以，即，故當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立．

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立．

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，總有．

令，則，即．

令，得到個(gè)不等式并將之累加得，整理得

．

【解析】

試題分析：（1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，切點(diǎn)在切線上，求出，與的關(guān)系；

（2）利用不等式，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值大于0，求的取值范圍；

（3）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則當(dāng)時(shí)，在上恒成立，對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和即可推出要證的結(jié)論．

試題解析：（1），則有，，代入得

，解得．

（2）由（1）得，令，，

，．

，．，，是增函數(shù)，所以，即，故當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立．

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立．

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，總有．

令，則，即．

令，得到個(gè)不等式并將之累加得，整理得

．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題．