Question

3．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大
（1）求該展開式中常數(shù)項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項為第幾項？

Answer 1

分析 （1）由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得$\frac{n}{2}$+1=6，求得n，再由通項公式，化簡，可令x的指數(shù)為0，求得r，進而得到所求常數(shù)項；
（2）設第r+1項系數(shù)最大，由 第r+1項系數(shù)不小于第r項系數(shù)，且不小于第r+2項系數(shù)，得到r的方程組，運用組合數(shù)公式，解方程可得r的范圍，求得整數(shù)解即可．

解答 解：（1）由題意知$\frac{n}{2}+1=6∴n=10$，
${T_{r+1}}=C_{10}^r{2^r}{x^{\frac{10-5r}{2}}}（0≤r≤10且r∈{N^*}）$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，可得r=2，
所以當r=2時為常數(shù)項${T_3}=C_{10}^2{2^2}=180$；
（2）設第r+1項系數(shù)最大，
由 第r+1項系數(shù)不小于第r項系數(shù)，且不小于第r+2項系數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r-1}{2^{r-1}}\\ C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r+1}{2^{r+1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{11-r}\\ \frac{1}{10-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$，
因為r∈N^*所以r=7．
即第8項系數(shù)最大．

點評 本題考查二項式定理的運用：求指定項，注意運用通項公式，同時考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，以及最大項系數(shù)的特點，考查運算能力，屬于中檔題．