Question

12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）和定直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)F作斜率不為0的任意一條直線與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)P（與點(diǎn)F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用條件可得等式$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|，化簡(jiǎn)，可得曲線C的軌跡方程；
（2）通過設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，0）滿足題設(shè)條件，分AB與x軸不垂直與不垂直兩種情況討論，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則據(jù)題意有$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|
則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，即3x²+4y²=12，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，0）滿足題設(shè)條件，
①當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x-1）．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB所在直線的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
可知△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
若∠APF=∠BPF，則k_AP+k_BP=0，
則k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-{x}_{0}）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-{x}_{0}）}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$
∵（x₁-1）（x₂-x₀）+（x₂-1）（x₁-x₀）=2x₁x₂-（1+x₀）（x₁+x₂）+2x₀=0
∴整理得：k（x₀-4）=0，因?yàn)閗∈R，所以x₀=4；
②當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有∠APF=∠BPF，滿足題意；
綜上，在x軸上存在點(diǎn)P（4，0），使得∠APF=∠BPF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，圓錐曲線中的存在性問題，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于難題．