Question

【題目】在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（ ）

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有

②已知點(diǎn)P(3,1)和直線則

③到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等點(diǎn)的軌跡是正方形；

④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)。

其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①討論，，三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

③設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

④討論在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．

解：①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，

，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，

為，，，或，，，則，，，；

若，或，對(duì)調(diào)，可得，，，；

若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，

，，，；

則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)，即為，，若，則；

若，則，故所求軌跡是正方形，則②正確；

③設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，

可得，，

由，解得，即有，

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，，，．無(wú)最值，

綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．

故③正確；

④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)

滿足，，，

可得不軸上，在線段間成立，

可得，解得，

由對(duì)稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿足條件；

若在第一象限內(nèi)，滿足，，，

即為，為射線，

由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．

故④正確；

故選：