Question

14．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）恒經(jīng)過橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)F．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求FA•FB的值．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)化為普通方程，可得右焦點(diǎn)F（1，0）．根據(jù)直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）恒經(jīng)過點(diǎn)（c，0），可得m．
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：3t²+2$\sqrt{2}$t-2=0，利用|FA|•|FB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)化為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得右焦點(diǎn)F（1，0）．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）恒經(jīng)過點(diǎn)（1，0），取t=0，則m=1．
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：3t²+2$\sqrt{2}$t-2=0，
∴t₁t₂=-$\frac{2}{3}$．
∴|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線經(jīng)過定點(diǎn)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．