Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-4|+a|x+2|（a∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）解不等式f（x）≥3．

Answer 1

分析 （1）利用f（4）+f（-2）=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可解不等式f（x）≥3．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-4|+a|x+2|的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱
∴f（4）+f（-2）=0，
∴6a+6=0
∴a=-1；
∴f（x）=|x-4|-|x+2|，
而f（2-x）=|（2-x）-4|-|（2-x）+2|=|x+2|-|x-4|=-f（x），
∴f（x）+f（2-x）=0，
故f（x）=|x-4|+a|x+2|的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱；
（2）f₁（x）=4-x+x+2=6 x≤-2
f₂（x）=4-x-x-2=2-2x-2≤x≤4
f₃（x）=x-4-x-2=-6 x≥4
∴x≤-2時(shí)，不等式f（x）＞3 恒成立
-2≤x≤4時(shí)，2-2x＞3，
∴x＜-$\frac{1}{2}$
x≥4，不等式f（x）＞3 恒不成立
∴不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考絕對(duì)值函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．