Question

8．如圖，四邊形ABCD是梯形．四邊形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，且∠AED=45°，AE=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$CD，連接AF，求三棱錐M-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)M是AE線段的中點(diǎn)時(shí)，連接CE，交DF于N，連接MN，推導(dǎo)出MN∥AC，由此能證明AC∥平面DMF．
（2）由V_M-ADF=V_F-MDA，能求出三棱錐M-ADF的體積．

解答 解：（1）當(dāng)M是AE線段的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF，證明如下：
連接CE，交DF于N，連接MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMN，又AC?平面DMF，
所以AC∥平面DMF．
（2）∵∠AED=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∴AD=DE=1，DC=2，
V_M-ADF=V_F-MDA，S_△MDA=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，h=CD=2，
∴三棱錐M-ADF的體積V_M-ADF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×2$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．