Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性遞增；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值1；
（3）若f（x）的值域為D，且D⊆[-3，1]，求m的取值范圍[-1，1]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)，得到f（-x）+f（x）=0，求出m的值即可；
（3）求出D的范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{5}^{x+1}}$，
函數(shù)y=$\frac{2}{{5}^{x+1}}$遞減，故函數(shù)y=m-$\frac{2}{{5}^{x+1}}$遞增；
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增       …（2分）
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$…（4分）
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，
∴m=1 …（6分）
（3）由${5^x}＞0⇒0＜\frac{2}{{{5^x}+1}}＜2⇒m-2＜m-\frac{2}{{{5^x}+1}}＜m$，D=（m-2，m）…（10分）
∵D⊆[-3，1]∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-2≥-3}\\{m≤1}\end{array}}\right.⇒-1≤m≤1$，
∴m的取值范圍是[-1，1]…（12分）
故答案為：遞增；1；[-1，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查函數(shù)的值域，是一道中檔題．