Question

18．已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數列{a_n}滿足a₁=λ-2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2^n}，n為奇數\\ f（{a_n}），n為偶數\end{array}$．
（Ⅰ）當x為正整數時，求f（n）的表達式；
（Ⅱ）設λ=3，求a_n
（Ⅲ）若對任意n∈N^*，總有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2，可得數列{b_n} 是首項為$\lambda$，公差為2的等差數列，求其通項公式可得f（n）的表達式；
（Ⅱ）設λ=3，由已知a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2^n}，n為奇數\\ f（{a_n}），n為偶數\end{array}$分類求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）分n=1、n為奇數、偶數由a_n+1a_n+2-a_na_n+1＞0得到關于λ的不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）記b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2，有b_n+1-b_n=2 對任意n∈N^* 都成立，
又${b_1}=f（1）=\lambda$，∴數列{b_n} 是首項為$\lambda$，公差為2的等差數列，
故b_n=2n+λ-2，即f（n）=2n+λ-2；
（Ⅱ）由題設λ=3．
若n 為偶數，則${a_n}={2^{n-1}}$；
若n 為奇數且n≥3，則${a_n}=f（{a_{n-1}}）=2{a_{n-1}}+λ-2=2•{2^{n-2}}+λ-2={2^{n-1}}+λ-2$=2^n-1+1，
又a₁=λ-2=1，即${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}+1，n為奇數且n≥3}\\{{2}^{n-1}，n為偶數}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）當n=1時，a₂a₃-a₁a₂=2[4+λ-2-（λ-2）]=8＞0．
當n 為奇數且n≥3 時，${a_{n+1}}{a_{n+2}}-{a_n}{a_{n+1}}={a_{n+1}}（{a_{n+2}}-{a_n}）={2^n}[{2^{n+1}}+λ-2-（{2^{n-1}}+λ-2）]$=3•2^2n-1＞0；
當n 為偶數時，${a_{n+1}}{a_{n+2}}-{a_n}{a_{n+1}}={a_{n+1}}（{a_{n+2}}-{a_n}）=（{2^n}+λ-2）（{2^{n+1}}-{2^{n-1}}）]$=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2）．
∵a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，∴2ⁿ+λ-2＞0，
∵n為偶數，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2 單調遞增，∴4+λ-2＞0，即λ＞-2．
故$\lambda$ 的取值范圍為（-2，+∞）．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了分段函數的應用，訓練了利用分離參數法求解恒成立問題，體現了分類討論的數學思想方法，屬中檔題．