Question

11．已知P為曲線${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$上的動(dòng)點(diǎn)，直線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）求點(diǎn)P到直線C₂距離的最大值，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)直線的參數(shù)方程為普通方程，設(shè)橢圓的P的參數(shù)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：由條件：$\frac{{y-\sqrt{3}}}{x-3}=-\frac{1}{{\sqrt{3}}}⇒{C_2}：x+\sqrt{3}y-6=0$．
設(shè)點(diǎn)$P（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，點(diǎn)P到C₂之距離
$d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosθ-2\sqrt{3}sinθ-6}|}}{2}=|{\sqrt{6}sin（θ+\frac{π}{4}）-3}|$.${\left.d\right|_{max}}=\sqrt{6}+3$．此時(shí)cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)$P（-\sqrt{6}，-\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．