Question

4．如圖，AC⊥平面α于C，BG⊥平面α于G，AB∥平面α，CD?平面α，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，若AB=4，AC=2，CD=4，BD=6
（1）求證：CG⊥平面ACD；
（2）求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明GC⊥CD，又AC⊥α，GC⊥AC，AC∩CD=C，即可證明CG⊥平面ACD；
（2）取AD的中點(diǎn)H，連接MH、NH，證明NH⊥MH，即可求MN的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：在Rt△BDG中，BD=6，BG=2，∴$DG=4\sqrt{2}$
又AB=CG=4，CD=4，故△CDG為等腰直角三角形
∴GC⊥CD，又AC⊥α，∴GC⊥AC，AC∩CD=C
∴GC⊥平面ACD…（7分）
（2）解：取AD的中點(diǎn)H，連接MH、NH，
∴NH∥AB，∴NH⊥平面ACD，∴NH⊥MH
∵$MH=\frac{1}{2}CD=2，NH=\frac{1}{2}AB=2$，∴$MN=2\sqrt{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的計(jì)算，正確證明線面垂直是關(guān)鍵．