Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-1}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0}\end{array}\right.$，且f（a-3）=0，則a=4，不等式f（x）＞a的解集為{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}．

Answer 1

分析 根據分段函數的表達式進行求解即可a的值，討論x的取值范圍結合指數不等式和對數不等式的解法進行求解即可．

解答 解：∵當a-3≤0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^a-3-1=0，此時方程無解，
∴a-3≤0不成立，
當a-3＞0時，即a＞3，
則由f（a-3）=0得log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-3）=0，則a-3=1，得a=4，
最大不等式f（x）＞a等價為f（x）＞4，
若x≤0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1＞4，得x-1＜-2．得x＜-1，
當x＞0時，f（x）＞4，得log${\;}_{\frac{1}{3}}$x＞4得0＜x＜$\frac{1}{81}$，
綜上不等式的解集為{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}，
故答案為：4，{x|x＜-1或0＜x＜$\frac{1}{81}$}

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據分段函數的表達式進行討論求解是解決本題的關鍵．