Question

已知函數(shù)，，其中．

(1)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；

(2)若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0求出的值，再驗證充分性即可，這里容易忘記驗證充分性，一定要注意連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)為0，只是在該處取得極值的必要條件，而非充要條件；(2)條件等價轉(zhuǎn)化為，然后以導(dǎo)數(shù)為工具，求出分別求出，通過解不等式可得實數(shù)的取值范圍，注意分類討論.本小題要注意是兩個相互獨立的變量，沒有約束關(guān)系，所能轉(zhuǎn)化為 ， 若題目改為“若對任意的都有≥成立”，則可考慮轉(zhuǎn)化為成立去解答.

試題解析：（1）解法1：∵，其定義域為，    1分  

∴．3分

∵是函數(shù)的極值點，∴，即．

∵，∴．

經(jīng)檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的極值點，∴．　     5分                                            

解法2：∵，其定義域為，

∴．   令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	—	0	＋
		極小值

依題意，，即，∵，∴．

（2）解：對任意的都有成立等價于對任意的都有．                               6分

當(dāng)時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．                       8分                      

∵，且，．

①當(dāng)且當(dāng)時，，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴.由，得，又，

此時不合題意．                                          10分 

②當(dāng)時，

若，則，若，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由，得，又，∴．       12分

③當(dāng)且時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.由≥，得，

又，∴．      13分

綜上所述，的取值范圍為．       14分

考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值和最值.