Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n＞0，且滿(mǎn)足2a²_n+1-a_n²-1=0（n∈N），求a_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 根據(jù)遞推式依次計(jì)算a₂，a₃，a₄，根據(jù)各項(xiàng)的特點(diǎn)猜想a_n，驗(yàn)證n=1時(shí)猜想是否成立，假設(shè)n=k猜想成立，推導(dǎo)n=k+1時(shí)猜想是否成立得出結(jié)論．

解答 解：∵2a²_n+1-a_n²-1=0，a_n＞0，
∴a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2}}$，
∴a₂=$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
a₃=$\sqrt{\frac{{{a}_{2}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{4}}$，
a₄=$\sqrt{\frac{{{a}_{3}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{11}{8}}$，
猜想：a_n=$\sqrt{\frac{{2}^{n-1}+3}{{2}^{n-1}}}$．
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\sqrt{\frac{4}{1}}$=2，顯然猜想成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=$\sqrt{\frac{{2}^{k-1}+3}{{2}^{k-1}}}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\sqrt{\frac{{{a}_{k}}^{2}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{\frac{{2}^{k-1}+3}{{2}^{k-1}}+1}{2}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{k-1}+3+{2}^{k-1}}{2•{2}^{k-1}}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{k}+3}{{2}^{k}}}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
∴a_n=$\sqrt{\frac{{2}^{n-1}+3}{{2}^{n-1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．