Question

6．求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線且焦點(diǎn)在圓x²+y²=100上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，設(shè)出所求雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），或$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），求得雙曲線的焦點(diǎn)，由雙曲線的基本量的關(guān)系，解方程可得m=4，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），
由焦點(diǎn)在圓x²+y²=100上，可得焦點(diǎn)為（±10，0），
即c=10=$\sqrt{9m+16m}$，解得m=4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），
由焦點(diǎn)在圓x²+y²=100上，可得焦點(diǎn)為（0，±10），
即c=10=$\sqrt{-9m-16m}$，解得m=-4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．
綜上可得，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1或$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．