Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx
（1）若a=2．求f（x）的極值．
（2）若a＞0．求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，對a討論，分①當0＜a＜1時，②當a=1時，③當a＞1時，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=x²-6x+4lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-6+$\frac{4}{x}$=$\frac{{2（x}^{2}-3x+2）}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
故f（x）_極大值=f（1）=-5，f（x）_極小值=f（2）=4ln2-8；
（2）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2（a+1）x+2a}{x}$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
①當0＜a＜1時，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；
在x∈（a，1）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
②當a=1時，在x∈（0，+∞）時f'（x）≥0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
③當a＞1時，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0；
在x∈（1，a）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法，正確分類是解決本題的關(guān)鍵．