Question

若平面直角坐標系內(nèi)兩點M、N滿足條件：①M、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關于原點對稱，則稱點對（M、N）是函數(shù)y=f（x）的一個“共生點對”（點對（M、N）與（N、M）可看作同一個“共生點對”），已知函數(shù)f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

則此函數(shù)的“共生點對”有

 

個．

Answer 1

考點：函數(shù)的概念及其構成要素

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題可根據(jù)條件，找出函數(shù)圖象位于y軸右側的圖象關于y軸對稱的曲線方程，用所得曲線與原函數(shù)在y軸左側的曲線交點，得到符合兩個條件的“共生點對”，得到本題結論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

，
∴當x＜0時，f（x）=-2ln（-x），
則該段曲線關于y軸對稱的曲線對應的函數(shù)解析式為：
y=-2lnx．
∵平面直角坐標系內(nèi)兩點M、N滿足條件：①M、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關于原點對稱，則稱點對（M、N）是函數(shù)y=f（x）的一個“共生點對”（點對（M、N）與（N、M）可看作同一個“共生點對”）
∴由方程組

y=x2-4x+5 y=-2lnx

的解的個數(shù)可知函數(shù)的“共生點對”的個數(shù)．
即研究g（x）=x²-4x+5+2lnx，（x＞0）的零點的個數(shù)，
∵g′(x)=2x-4+

2

x

=

2(x-1)2

x

≥0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
取x=e^-10，則g（x）=

1

e20

-

4

e10

+5-20＜0，
取x=1，則g（x）=1-4+5=2＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點．
∴此函數(shù)的“共生點對”有1個．
故答案為：1．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象的對稱性和函數(shù)圖象的交點個數(shù)，還考查了新定義問題，本題難度適中，屬于中檔題．