Question

11．經(jīng)過拋物線y²=2px焦點的弦的中點的軌跡是（　�。�

• A． 拋物線
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 直線

Answer 1

分析 方法一：設直線ld的方程，代入拋物線方程，由韋達定理及中點坐標公式，即可求得M點坐標，消去k即可求得即可求得軌跡方程，即可求得答案．
方法二：設A，B坐標，利用點差法求得直線AB的斜率，由斜率公式取得MF的斜率，由k_AB=k_MF，即可求得中點的軌跡方程，即可求得答案．

解答 解：方法一：由題知拋物線焦點為（$\frac{p}{2}$，0）
直線斜率存在時，設焦點弦方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，k²x²-（k²+2）px+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$=0
由韋達定理：x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$，則中點橫坐標：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{（{k}^{2}+2）p}{2{k}^{2}}$，
代入直線方程，中點縱坐標：y=k（x-p）=$\frac{p}{k}$．即中點為（$\frac{（{k}^{2}+2）p}{2{k}^{2}}$，$\frac{p}{k}$）
消參數(shù)k，得其方程為y²=px-$\frac{{p}^{2}}{2}$，
直線斜率不存在時，（$\frac{p}{2}$，0）也滿足方程．
∴焦點的弦的中點的軌跡為拋物線，
故選A．
方法二：設拋物線的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），弦AB的中點M（x，y），
過焦點的弦與拋物線相交于A，B兩點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=2p{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=2p{x}_{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁x₂），
則k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2p}{2y}$=$\frac{p}{y}$，
由直線MF的斜率k_MF=$\frac{y}{x-\frac{p}{2}}$，
由k_AB=k_MF，整理得：y²=px-$\frac{{p}^{2}}{2}$，
∴焦點的弦的中點的軌跡為拋物線，
故選A．

點評 本題考查拋物線的焦點弦中點的軌跡方程，直線與拋物線的位置關系，韋達定理，中點坐標公式，點差法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．