Question

6．如圖，三棱錐S-ABC中，若$AC=2\sqrt{3}$，SA=SB=SC=AB=BC=4，E為棱SC的中點，則直線AC與BE所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$，直線AC與平面SAB所成的角為60⁰．

Answer 1

分析 （1）取SA的中點F，連接EF，BF，則∠BEF（或其補(bǔ)角）為異面直線AC與BE所成的角，求出三角形的三邊，即可求出異面直線AC與BE所成的角．
（2）取SB中點O，連結(jié)CO，AO．可得AO⊥SB，CO⊥SB，即SB⊥面ACO，
即OAC是直線AC與平面SAB所成的角，可得∠OAC．

解答 解：（1）取SA的中點F，連接EF，BF，∵E為棱SC的中點，∴EF∥AC，
∴∠BEF（或其補(bǔ)角）為異面直線AC與BE所成的角，
∵AC=2$\sqrt{3}$，SA=SB=AB=BC=SC=4，∴BE=BF=2$\sqrt{3}$．EF=$\sqrt{3}$，
在等腰△BEF中，cos∠BEF=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{4}$．
（2）取SB中點O，連結(jié)CO，AO．
∵SA=SB=SC=AB=BC=4，∴AO=CO=AC=2$\sqrt{3}$．
AO⊥SB，CO⊥SB，即SB⊥面ACO，
∴∠OAC是直線AC與平面SAB所成的角，可得∠OAC=60°．
故答案為：$\frac{1}{4}$，60⁰

點評 本題考查異面直線及其所成的角，考查學(xué)生的計算能力，正確作出異面直線及其所成的角是關(guān)鍵．