Question

9．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的長軸長是短軸長的2倍，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B，C分別是該橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l：y=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外），直線PC交橢圓于另一點(diǎn)M．記直線BM，BP的斜率分別為k₁、k₂
（1）當(dāng)直線PM過點(diǎn)F時(shí)，求$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）求|k₁|+|k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$（a＞1）的長軸長是短軸長的2倍，得a=2，當(dāng)直線PM過點(diǎn)F時(shí)，則直線PM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$，從而得到P（-$\sqrt{3}$，-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\end{array}\right.$，得M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{1}{7}$），由此能求出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值．
（2）設(shè)P（m，-2），且m≠0，則直線PM的方程為y=-$\frac{1}{m}x-1$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+$\frac{4}{{m}^{2}}$）x²+$\frac{8}{m}x$=0，解得M（-$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$），從而得到k₁=$\frac{m}{4}$，k₂=-$\frac{3}{m}$，由此能求出|k₁|+|k₂|的最小值．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$（a＞1）的長軸長是短軸長的2倍，得a=2，
由題意B（0，1），C（0，-1），焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），
當(dāng)直線PM過點(diǎn)F時(shí)，則直線PM的方程為$\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{-1}=1$，即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$，
令y=-2，得x=-$\sqrt{3}$，則P（-$\sqrt{3}$，-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8\sqrt{3}}{7}}\\{y=\frac{1}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍），即M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}，\frac{1}{7}$），
∵$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，3$），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{15\sqrt{3}}{7}，\frac{15}{7}$），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$=$\frac{45}{7}+\frac{45}{7}$=$\frac{90}{7}$．
（2）設(shè)P（m，-2），且m≠0，則直線PM的斜率k=$\frac{-1-（-2）}{0-m}=-\frac{1}{m}$，
則直線PM的方程為y=-$\frac{1}{m}x-1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡，得（1+$\frac{4}{{m}^{2}}$）x²+$\frac{8}{m}x$=0，解得M（-$\frac{8m}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$），
∴k₁=$\frac{\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}+4}-1}{-\frac{8m}{{m}^{2}+4}}=\frac{-2{m}^{2}}{-8m}$=$\frac{m}{4}$，${k}_{2}=\frac{1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{3}{m}$，
∴|k₁|+|k₂|=|-$\frac{3}{m}$|+|$\frac{m}{4}$|≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
∴|k₁|+|k₂|的最小值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的求法，考查兩直線的斜率的絕對(duì)值的和的最小值的求法，考查橢圓、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．