Question

18．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a，b＞0）的最大值是12，則a²+b²的最小值是（　�。�

• A． $\frac{6}{13}$
• B． $\frac{36}{5}$
• C． $\frac{36}{13}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得2a+3b=6，再由點到直線的距離公式求得a²+b²的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖所示，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
化目標函數(shù)z=ax+by為y=-$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖可知，
當直線y=-$-\frac{a}x+\frac{z}$過點A（4，6）時，z有最大值為4a+6b=12．
∴2a+3b=6．
由原點O（0，0）到直線2a+3b-6=0的距離d=$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$，
可得a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．