Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$，雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$，以C₁的短軸為一條最長對角線的正六邊形與x軸正半軸交于點M，F(xiàn)為橢圓右焦點，A為橢圓右頂點，B為直線$x=\frac{a_1^2}{c_1}$與x軸的交點，且滿足|OM|是|OA|與|OF|的等差中項，現(xiàn)將坐標平面沿y軸折起，當所成二面角為60°時，點A，B在另一半平面內(nèi)的射影恰為C₂的左頂點與左焦點，則C₂的離心率為2．

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義、平面幾何知識得到是${a_1}+{c_1}=\sqrt{3}{b_1}$，可得a₁=2c₁． $|OP|=\frac{a_1}{2}={a_2}$，設雙曲線左焦點為Q，則$|OQ|=\frac{1}{2}\;•\;\frac{a_1^2}{c_1}={a_1}={c_2}$，可得${e_2}=\frac{c_2}{a_2}=2$．

解答 解：由題，|OA|+|OF|=2|OM|，由正六邊形得$|OM|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{b_1}$．于是${a_1}+{c_1}=\sqrt{3}{b_1}$，可得a₁=2c₁．
當所成二面角為60°時，設雙曲線左頂點為P，
則$|OP|=\frac{a_1}{2}={a_2}$，
設雙曲線左焦點為Q，
則$|OQ|=\frac{1}{2}\;•\;\frac{a_1^2}{c_1}={a_1}={c_2}$，
所以${e_2}=\frac{c_2}{a_2}=2$．
故答案為：2

點評 本題考查了雙曲線的離心率，解題時多用平面幾何知識及定義，屬于中檔題．