2.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,${sin^2}\frac{A-B}{2}+sinAsinB=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$.
(1)求角C的大;
(2)若c=2,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)利用二倍角公式得到$\frac{1-cos(A-B)}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,利用余弦加法定理得$\frac{1-cos(A+B)}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,從而cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,由此能求出C.
(2)由余弦定理得$4={a^2}+{b^2}-\sqrt{2}ab≥2ab-\sqrt{2}ab$,從而$ab≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=4+2\sqrt{2}$,由此能求出△ABC面積的最大值.

解答 解:(1)∵在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,
${sin^2}\frac{A-B}{2}+sinAsinB=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$.
∴$\frac{1-cos(A-B)}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,
∴$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,
$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,
$\frac{1-cos(A+B)}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,
$\frac{1-cos(π-c)}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,
$\frac{1+cosC}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,故cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵0<C<π,∴C=$\frac{π}{4}$.
(2)由c2=a2+b2-2abcosC,
得$4={a^2}+{b^2}-\sqrt{2}ab≥2ab-\sqrt{2}ab$
即$ab≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=4+2\sqrt{2}$,
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ab≤1+\sqrt{2}$
∴△ABC面積的最大值${({S_{△ABC}})_{max}}=1+\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的求法,考查三角形的面積的最大值的求法,考查二倍角公式、余弦加法定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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