Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|（m＞0）
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用絕對(duì)值三角不等式證得結(jié)論．
（Ⅱ）分當(dāng)

4

m

＜2時(shí)和當(dāng)

4

m

≥2時(shí)兩種情況，分別根據(jù)f（2）＞5，求得m的范圍，再把所得m的范圍取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|≥|-（x-

4

m

）+x+m|=

4

m

+m≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

m

=m，即m=2時(shí)取“=”，所以f（x）≥4成立．
（Ⅱ）f（2）=|2-

4

m

|+|2+m|．
當(dāng)

4

m

＜2，即m＞2時(shí)，f（2）=m-

4

m

+4，由f（2）＞5，求得m＞

1+ 17

2

．
當(dāng)

4

m

≥2，即0＜m≤2時(shí)，f（2）=

4

m

+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．
綜上，m的取值范圍是（0，1）∪（

1+ 17

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．