Question

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （2，1），并且在圓x²+y²=16上截得弦長(zhǎng)為4

3

的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由圓的方程求出圓心的坐標(biāo)及半徑，由直線被圓截得的弦長(zhǎng)，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出弦心距，一下分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在，顯然x=2滿足題意；若斜率存在，設(shè)出斜率為k，由直線過(guò)P點(diǎn)，由P的坐標(biāo)及設(shè)出的k表示出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答： 解：由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=4，
∵直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4

3

，
∴弦心距=2，
若此弦所在的直線方程斜率不存在時(shí)，顯然x=2滿足題意；
若此弦所在的直線方程斜率存在，設(shè)斜率為k，
∴所求直線的方程為y-1=k（x-2），
∴圓心到所設(shè)直線的距離d=

|-2k+1|

k2+1

=2，
解得：k=-

3

4

，
此時(shí)所求方程為y-1=-

3

4

（x-2），即3x+4y-10=0，
綜上，此弦所在直線的方程為x-2=0或3x+4y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．