Question

20．已知橢圓$γ：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$（常數(shù)a＞1）的左頂點為R，點A（a，1），B（-a，1），O為坐標原點．（1）設a=2，Q是橢圓γ上任意一點，S（6，0），求$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值；
（2）若P是橢圓γ上任意一點，$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）設出點Q的坐標，表示出$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$，轉化為二次函數(shù)即可求解；（2）由題意，用m，n表示出點P的坐標，代入橢圓方程即可．

解答 解：（1）當a=2時，有R（-2，0），A（2，1），B（-2，1），
設點Q（x₀，y₀），則$\overrightarrow{QS}=（6-{x}_{0}，-{y}_{0}），\overrightarrow{QR}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
∴$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}{{=x}_{0}}^{2}{{+y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-12$，
又點Q在橢圓上，∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$代入上式得：$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$，x₀∈[-2，2]，
∵函數(shù)$y=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$在區(qū)間[-2，2]上為增函數(shù)，
∴當x₀=-2時函數(shù)取最小值，且最小值為-16．
即$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值為-16．
（2）由題意知$\overrightarrow{OA}=（a，1），\overrightarrow{OB}=（-a，1）$，
∴$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=（ma-na，m+n）$，
即點P（ma-na，m+n），
又點P在橢圓上，
∴$\frac{{（ma-na）}^{2}}{{a}^{2}}{+（m+n）}^{2}=1$，
化簡得2（m²+n²）=1，
∴${m}^{2}+{n}^{2}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的一個簡單的綜合問題，正確轉化是解決本題的關鍵．第一問中求最值問題是一道比較常規(guī)也是比較經(jīng)典的題型，利用函數(shù)方法是最常見的轉化方法．本題還可以用橢圓的參數(shù)方程求解．