Question

2．已知函數(shù)f（x）=atanx-e^x-2a（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=1時，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若不等式f（x）≥-3a在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若不等式f（x）≥-3a在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立，a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$0在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立．構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=tanx-e^x-2，f（0）=-3，f′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-e^x，
∴f′（0）=0，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-3；
（2）不等式f（x）≥-3a在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立，
即不等式atanx-e^x+a≥0在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立，
∴a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$0在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)恒成立
令y=$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，則y′=$\frac{{e}^{x}（sinxcosx+co{s}^{2}x-1）}{（sinx+cosx）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1}{2（sinx+cosx）^{2}}•{e}^{x}$，
∴0＜x＜$\frac{π}{4}$，y′＞0，$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$，y′＞0，
∴x=$\frac{π}{4}$，y_max=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$，
∴a≥$\frac{1}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．