Question

3．直角坐標系中曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）經過點M（0，1）作直線l交曲線C于A，B兩點（A在B上方），且滿足BM=2AM，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），利用cos²θ+sin²θ=1，可得曲線C的直角坐標方程．
（2）設直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α為參數）代入曲線C的方程有：（7sin²α+9）t²+32tsinα-128=0，利用t₂=-2t₁，及其根與系數的關系即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），
可得：曲線C的直角坐標方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）設直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（α為參數）
代入曲線C的方程有：（7sin²α+9）t²+32tsinα-128=0，
設點A，B對應的參數分別為t₁，t₂，
則t₂=-2t₁，則t₁+t₂=-$\frac{32sinα}{9+7si{n}^{2}α}$=-t₁，t₁t₂=$\frac{-128}{9+7si{n}^{2}α}$=-2${t}_{1}^{2}$，
∴sin²α=1，
∴直線l的方程為：x=0．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數的關系、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．