Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知利用遞推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$可得a_n，代入分別可求數(shù)列b_n的首項(xiàng)b₁，公比q，從而可求b_n．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
上式對(duì)n=1也成立，
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2．即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差數(shù)列．
設(shè){b_n}的公比為q，
由a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，
可得b₁qd=b₁，又d=4，
可得q=$\frac{1}{4}$．
故b_n=b₁q^n-1=2×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，即{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=$\frac{2}{{4}^{n-1}}$，n∈N*．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)已知條件中含有s_n時(shí)，一般會(huì)用結(jié)論a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$來求通項(xiàng)，一般有兩種類型：①所給的S_n=f（n），則利用此結(jié)論可直接求得n＞1時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，但要注意檢驗(yàn)n=1是否適合②所給的S_n是含有a_n的關(guān)系式時(shí)，則利用此結(jié)論得到的是一個(gè)關(guān)于a_n的遞推關(guān)系，再用求通項(xiàng)的方法進(jìn)行求解．