13.已知公差不為0的等差數(shù)列{an},它的前n項(xiàng)和是Sn,$a_2^2={a_1}{a_5}$,a3=5,則$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值時n=( 。
A.6B.7C.8D.9

分析 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,從而求出an,Sn,利用基本不等式能求出$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值時n的值.

解答 解:∵公差不為0的等差數(shù)列{an},它的前n項(xiàng)和是Sn,$a_2^2={a_1}{a_5}$,a3=5,
∴a3=a1+2d=5,且(a1+d)2=a1(a1+4d),
由d≠0,解得a1=1,d=2,
∴an=2n-1,∴${S_n}=\frac{{({a_1}+{a_n})n}}{2}={n^2}$,
∴$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}=\frac{{{n^2}+49}}{2n}=\frac{1}{2}(n+\frac{49}{n})≥\frac{1}{2}×2\sqrt{n×\frac{49}{n}}=7$,
∴當(dāng)n=7的取等號,
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列關(guān)于前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的代數(shù)式取最小值時項(xiàng)數(shù)n的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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