Question

7．已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足對任意的x₁、x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．若正實數(shù)a，b滿足f（a）+f（2b-1）=0，則$\frac{1}{a}$+$\frac{8}$的最小值為25．

Answer 1

分析 首先分析可得f（0）=0，由所給的等式可得f（a）+f（2b-1）=f（0），即f[a+（2b-1）]=f（0），再由f（x）單調(diào)可得a+2b=1，再利用基本不等式得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，在f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，
令x₁=0，x_2⁼⁰，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
若f（a）+f（2b-1）=0，則有f（a）+f（2b-1）=f（0），
則有f[a+（2b-1）]=f（0），
又由f（x）為單調(diào)函數(shù)，則有a+2b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{8}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{8}$）（a+2b）=17+$\frac{2b}{a}$+$\frac{8a}$≥17+2$\sqrt{16}$=25；
故答案為：25．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應用，涉及基本不等式的性質(zhì)，關鍵是得到a、b的關系．