如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；
（3）求平面與平面所成二面角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：本題有兩種方法，第一種是傳統(tǒng)方法：（1）連接，先由正方體的性質(zhì)得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設(shè)四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結(jié)合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）先延長、交于點，連接，找出由平面與平面所形成的二面角的棱，借助平面，從點在平面內(nèi)作，連接，利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中計算的余弦值；
第二種方法是空間向量法：（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定與的坐標(biāo)，利用來證明，進而證明
；（2）先利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到，然后利用空間向量共線求出點的坐標(biāo)，進而求出的長度；（3）先求出平面和平面的法向量，結(jié)合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角，最后再利用兩個平面的法向量的夾角來進行計算.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下圖所示，假設(shè)、、、

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知三棱柱ABCA1B1C1,

(1)若M、N分別是AB,A1C的中點,求證:MN∥平面BCC1B1;
(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2,∠B1BA=∠B1BC=60°,P為線段B1B上的動點,當(dāng)PA+PC最小時,求證:B1B⊥平面APC.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別為AA1、CC1的中點，AC⊥BE，點F在線段AB上，且AB＝4AF.若M為線段BE上一點，試確定M在線段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,四邊形EFGH所在平面為三棱錐A-BCD的一個截面,四邊形EFGH為平行四邊形.

(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點．

(1)求證：AM＝CM；
(2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.

(1)求證：AB∥平面CDE；
(2)求證：平面ABCD⊥平面ADE.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在圓錐中，已知，的直徑，點在底面圓周上，且，為的中點．

(1)證明：平面；
(2)求點到面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直三棱柱中，，是中點，是中點.

（1）求三棱柱的體積；
（2）求證：；
（3）求證：∥面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求證：OM∥平面PAB；
(2)求證：平面PBD⊥平面PAC；
(3)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積等于時，求PB的長．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案